怎么做，急求帮助！谢谢你了
创始人
2025-06-01 10:31:39
怎么做，急求帮助！谢谢你了
(1)f(x)的定义域显然为x∈R关于原点对称
f(-x)=[2^(-x)-1]/[2^(-x)+1] 分子分母同乘2^x
=(1-2^x)/(1+2^x)
=-(2^x-1)/(2^x+1)
=-f(x)
（2）方法一（用定义）
设x1,x2∈R，且x1>x2
则f(x1)-f(x2)
=(2^x1 -1)/(2^x1 +1) - (2^x2 -1)/(2^x2 +1)
={[(2^x1 -1)*(2^x2 +1)] - [(2^x2 -1)*(2^x1 +1)]} / [(2^x1 +1)*(2^x2 +1)]
=2*(2^x1 - 2^x2) / [(2^x1 +1)*(2^x2 +1)] ①
函数y=2^x是基本对数函数之一，很容易知其为定义在R上的单调增函数，即，当x1>x2时，有2^x1 > 2^x2 ; 且，对于任意的x，都有2^x >0，故2^x +1>0
由此可知，①式中，分子分母的各个公因项均大于0，故f(x1)-f(x2)>0
<=>f(x1)>f(x2)
∴f(x)为定义在R上的增函数
方法二（导数）
对f(x)求一次导数：
f'(x)=[(2^x -1)'*(2^x +1) - (2^x +1)'*(2^x -1)] / (2^x +1)^
=[2^x * ln2 *(2^x +1) - 2^x * ln2 *(2^x -1)] / (2^x +1)^
=2ln2*2^x/(2^x +1)^
无疑，对于任意x，都有2^x>0,∴(2^x +1)^>0,ln2>0
∴f'(x)>0
∴f(x)为定义在R上的单调增函数
希望可以帮助到你。祝你学习愉快！
(1)f(x)的定义域显然为x∈R关于原点对称
f(-x)=[2^(-x)-1]/[2^(-x)+1] 分子分母同乘2^x
=(1-2^x)/(1+2^x)
=-(2^x-1)/(2^x+1)
=-f(x)
（2）方法一（用定义）
设x1,x2∈R，且x1>x2
则f(x1)-f(x2)
=(2^x1 -1)/(2^x1 +1) - (2^x2 -1)/(2^x2 +1)
={[(2^x1 -1)*(2^x2 +1)] - [(2^x2 -1)*(2^x1 +1)]} / [(2^x1 +1)*(2^x2 +1)]
=2*(2^x1 - 2^x2) / [(2^x1 +1)*(2^x2 +1)] ①
函数y=2^x是基本对数函数之一，很容易知其为定义在R上的单调增函数，即，当x1>x2时，有2^x1 > 2^x2 ; 且，对于任意的x，都有2^x >0，故2^x +1>0
由此可知，①式中，分子分母的各个公因项均大于0，故f(x1)-f(x2)>0
<=>f(x1)>f(x2)
∴f(x)为定义在R上的增函数
方法二（导数）
对f(x)求一次导数：
f'(x)=[(2^x -1)'*(2^x +1) - (2^x +1)'*(2^x -1)] / (2^x +1)^
=[2^x * ln2 *(2^x +1) - 2^x * ln2 *(2^x -1)] / (2^x +1)^
=2ln2*2^x/(2^x +1)^
无疑，对于任意x，都有2^x>0,∴(2^x +1)^>0,ln2>0
∴f'(x)>0
∴f(x)为定义在R上的单调增函数
希望可以帮助到你。祝你学习愉快！
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